Пуассоновский случайный поток его свойства. Определение Пуассоновского потока

Этот термин используют, как правило, в теории массового обслуживания.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК" в других словарях:

Пуассоновский поток - см. Поток требований (заявок) … Экономико-математический словарь

То же, что Пуассоновский процесс. Этот термин используют, как правило, в массового обслуживания теории (См. Массового обслуживания теория) … Большая советская энциклопедия

поток требований - поток заявок входящий поток В теории массового обслуживания последовательность требований или заявок, поступающих на пункт обслуживания (канал, станцию, прибор и т.д.). Они возникают случайно и требуют определенного, обычно заранее точно не… …

Поток событий последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Свойства Свойство стационарности: вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка… … Википедия

В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью. Содержание 1 Определение 1.1 Простой Пуассоновский процесс … Википедия

пуассоновский входящий поток - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN exponential arrivals … Справочник технического переводчика

Случайный процесс X(t).с независимыми приращениями X(t2) X(t1), t2>tl имеющими Пуассона распределение. В однородном П. п. для любых t2 > t1 (1) Коэффициент l>0 наз. интенсивностью пуассоновского процесса X(t). Траектории П. п. X(t).… … Математическая энциклопедия

Случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 Большая советская энциклопедия

Случайная последовательность моментов времени, в к рые происходят события нек рого потока событий (напр., потока вызовов, приходящих на телефонную станцию), удовлетворяющая условию независимости и одинаковой показательной распределенности… … Математическая энциклопедия

- (теория очередей) раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие… … Википедия

Рассмотрим некоторую физическую систему S с дискретными состояниями которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий, например, вызовы на телефонной станции, выходы строя (отказы) элементов аппаратуры, выстрелы, направленные по цели и т. д.

Будем себе это представлять так, будто события, переводящие систему из состояния в состояние, представляют собой какие-то потоки событий (потоки вызовов, потоки отказов, потоки выстрелов и т. д.).

Пусть система S с графом состояний, показанным на рис. 4.27, в момент t находится в состоянии S; и может перейти из него в состояние под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с интенсивностью как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит (перескакивает) из S в Как мы знаем, вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени (элемент вероятности перехода) равна . Таким образом, плотность вероятности перехода в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность потока событий, переводящего систему по соответствующей стрелке.

Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные - безразлично), то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Действительно, пуассоновский поток обладает отсутствием последействия, поэтому, при заданном состоянии системы в данный момент, ее переходы в другие состояния в будущем обусловлены только появлением каких-то событий в пуассоновских потоках, а вероятности появления этих событий не зависят от «предыстории» процесса.

В дальнейшем, рассматривая марковские процессы в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывные марковские цепи), нам удобно будет во всех случаях рассматривать переходы системы из состояния в состояние как происходящие под влиянием каких-то потоков событий, хотя бы в действительности эти события были единичными. Например, работающее техническое устройство мы будем рассматривать как находящееся под действием потока отказов, хотя фактически оно может отказать только один раз. Действительно, если устройство отказывает в тот момент, когда приходит первое событие потока, то совершенно все равно - продолжается после этого поток отказов или же прекращается: судьба устройства от этого уже не зависит. Для нас же будет удобнее иметь дело именно с потоками событий.

Итак, рассматривается система S, в которой переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий с определенными интенсивностями. Проставим эти интенсивности (плотности вероятностей переходов) на графе состояний системы у соответствующих стрелок.

Получим размеченный граф состояний (рис. 4.27); по которому, пользуясь правилом, сформулированным в § 3, можно сразу записать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

Пример 1. Техническая система S состоит из двух узлов: I и II; каждый из них независимо от другого может отказывать (выходить из строя). Поток отказов первого узла - пуассоновский, с интенсивностью второго - также пуассоновский, с интенсивностью Каждый узел сразу после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановлений (окончаний ремонта ремонтируемого узла) для обоих узлов - пуассоновский с интенсивностью К.

Составить граф состояний системы и написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Определить, при каких начальных условиях нужно решать эти уравнения, если в начальный момент система работает исправно.

Решение. Состояния системы:

Оба узла неправды,

Первый узел ремонтируется, второй исправен,

Первый узел исправен, второй ремонтируется,

Оба узла ремонтируются.

Размеченный граф состояний системы показан на рис. 4.28.

Интенсивности потоков событий на рис. 4.28 проставлены из следующих соображений. Если система S находится в состоянии то на нее действуют два потока событий: поток неисправностей узла I с интенсивностью X, переводящий ее в состояние и поток неисправностей узла II с интенсивностью переводящий ее в Пусть теперь система находится в состоянии (узел I ремонтируется, узел II - исправен). Из этого состояния система может, во-первых, вернуться в (это происходит под действием потока восстановлений с интенсивностью ); во-вторых, - перейти в состояние (когда ремонт узла I еще не закончен, а узел II тем временем вышел из строя); этот переход происходит под действием потока отказов узла II с интенсивностью Интенсивности потоков у остальных стрелок проставляются аналогично.

Обозначая вероятности состояний и пользуясь правилом, сформулированным в § 3, запишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

Начальные условия, при которых нужно решать эту систему: при

Заметим, что, пользуясь условием

можно было бы уменьшить число уравнений на одно. Действительно, любую из вероятностей можно выразить через остальные и подставить в уравнения (6.1), а уравнение, содержащее в левой части производную чтой вероятности - отбросить.

Заметим, кроме того, что уравнения (6.1) справедливы как для постоянных интенсивностей пуассоновских потоков X, так и для переменных:

Пример 2. Группа в составе пяти самолетов в строю «колонна» (рис. 4.29) совершает налет на территорию противника. Передний самолет (ведущий) является постановщиком помех; до тех пор, пока он не сбит, идущие за ним самолеты не могут быть обнаружены и атакованы средствами ПВО противника. Атакам подвергается только постановщик помех. Поток атак - пуассоновский, с интенсивностью X (атак/час). В результате атаки постановщик помех поражается с вероятностью р.

Если постановщик помех поражен (сбит), то следующие за ним самолеты обнаруживаются и подвергаются атакам ПВО; на каждый из них (до тех пор, пока он не поражен) направляется пуассоновский поток атак с интенсивностью X; каждой атакой самолет поражается с вероятностью р. Когда самолет поражен, атаки по нему прекращаются, но на другие самолеты не переносятся.

Написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы и указать начальные условия.

Решение. Будем нумеровать состояния системы соответственно числу сохранившихся самолетов в группе:

Все самолеты целы;

Постановщик помех сбит, остальные самолеты целы;

Постановщик помех и один бомбардировщик сбиты, остальные самолеты целы;

Постановщик помех и два бомбардировщика сбиты, остальные самолеты целы;

Постановщик помех и три бомбардировщика сбиты, один самолет цел;

Все самолеты сбиты.

Состояния мы отличаем друг от друга по числу сохранившихся бомбардировщиков, а не по тому, какой именно из них сохранился, так как все бомбардировщики по условиям задачи равноценны - атакуются с одинаковой интенсивностью и поражаются с одинаковой вероятностью.

Граф состояний системы показан на рис. 4 30. Чтобы разметить этот граф, определим интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние.

Из состояния систему переводит поток поражающих (или «успешных») атак, т. е. тех атак, которые приводят к поражению постановщика (разумеется, если он раньше не был поражен).

Интенсивность потока атак равна X, но не все они - поражающие: каждая из них оказывается поражающей только с вероятностью . Очевидно, интенсивность потока поражающих атак равна эта интенсивность и проставлена в качестве у первой слева стрелки на графе (рис. 4.30).

Займемся следующей стрелкой и найдем интенсивность Система находится в состоянии т. е., целы и могут быть атакованы четыре самолета. Она перейдет в состояние за время если за это время какой-нибудь из самолетов (все равно, какой) будет сбит. Найдем вероятность противоположного события - за время ни один самолет не будет сбит:

Здесь отброшены члены высшего порядка малости относительно Вычитая эту вероятность из единицы, получим вероятность перехода из за время (элемент вероятности перехода):

что и проставлено у второй слева стрелки. Заметим, что интенсивность этого потока событий просто равна сумме интенсивностей потоков поражающих атак, направленных на отдельные самолеты Рассуждая наглядно, можно получить этот вывод следующим образом: система S в состоянии состоит из четырех самолетов; на каждый из них действует поток поражающих атак с интенсивностью значит на систему в целом действует суммарный поток поражающих атак с интенсивностью

Решение. Размеченный граф состояний показан на рис. 4.31.

Уравнения Колмогорова!

Начальные условия же, что и в примере 2.

Отметим, что в данном параграфе мы только выписывали дифференциальные уравнения для вероятностей состояний, но не занимались решением этих уравнений.

По этому поводу можно заметить следующее. Уравнения для вероятностей состояний представляют собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными или переменными коэффициентами - в зависимости от того, постоянны или переменны интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние.

Система нескольких линейных дифференциальных уравнений такого типа только в редких случаях может быть проинтегрирована в квадратурах: обычно такую систему приходится решать численно - либо вручную, либо на аналоговой вычислительной машине (АВМ), либо, наконец, на ЭЦВМ. Все эти способы решения систем дифференциальных уравнений затруднений не доставляют; поэтому самое существенное - уметь записать систему уравнений и сформулировать для нее начальные условия, чем мы и ограничились здесь.

За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток .

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t 0 , t 0 + τ ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:

где a - параметр Пуассона.

Если λ (t ) = const(t ), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t . Если λ = var(t ), то это нестационарный поток Пуассона .

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P 0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ , тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.

Вероятность появления хотя бы одного события (P ХБ1С) вычисляется так:

так как P ХБ1С + P 0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, - другого не дано).

Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t ), тем больше вероятность того, что событие произойдет - график функции монотонно возрастает.

Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).

Если увеличивать λ , то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ , вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4 ). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.

Изучая закон, можно определить, что: m x = 1/λ , σ = 1/λ , то есть для простейшего потока m x = σ . Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток - поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m x – σ < τ j < m x + σ . Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ j = m x = T н /N . Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ j относительно m x на [–σ ; +σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ . В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.

По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*) , окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:

τ = –1/λ · Ln(r ) ,

где r - равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ - интервал между случайными событиями (случайная величина τ j ).

Пример 1 . Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом - в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час]). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов. m = 1/λ = 24/8 = 3, то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3. На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.

На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма - моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33… Если посчитать расстояния между событиями t сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i , то в среднем величина будет равна σ = 3.

Этот поток занимает центральное место среди всего многообразия потоков, так же как случайные величины с нормальным законом распределения в прикладной теории вероятностей. Такое положение объясняется тем обстоятельством, что в теории потоков, так же как и в теории случайных величин, имеется предельная теорема , согласно которой сумма большого числа независимых потоков с любым законом распределения приближается к простейшему потоку с ростом числа слагаемых потоков.

Стационарным пуассоновским (простейшим) называется поток, обладающий тремя свойствами:ординарностью ,отсутствием последействия истационарностью .

Распределение событий на малом интервале времени

По определению, интенсивностью потока называется предел
, так как простейший поток стационарен, то для него
.

Стационарность потока и отсутствие последействия исключают зависимость вероятности появления событий на интервале
как от расположения этого интервала на оси времени, так и от событий ему предшествующих. Поэтому
.

Для любого промежутка времени имеем . При устремлении
всеми членами правой части этой формулы, за исключением первого, можно пренебречь, т.к. в силу ординарности потока событий эти величины пренебрежимо малы по сравнению с
:

.

С учетом изложенного преобразуем исходное выражение для интенсивности потока:

.

Отсюда имеем равенство
, т.е. вероятность появления одного события на малом интервале времени пропорциональна этому интервалу с коэффициентом.

Очевидно, что
. Следовательно,
, откуда имеем
- вероятность непоявления ни одного события на малом интервале времени
.

Распределение событий в пуассоновском потоке

Найдем выражение
, где
- вероятность того, что на интервале
произойдетсобытий. Это событие произойдет в одном из двух взаимоисключающих случаях:

По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем вероятность наступления ситуации 1 или 2:

Откуда . Устремив
, получим
.

Определим аналогичное соотношение для
. Чтобы событие на интервале
не наступило ни одного раза, необходимо и достаточно, чтобы оно наступило0 раз в интервалеи0 раз - в
. Вероятность этого события равна. Откуда аналогично получим
.

Таким образом, пуассоновский поток событий описывается системой линейных дифференциальных уравнений

,

с очевидными начальными условиями .

Из первого уравнения получаем
, из начальных условий имеем
, откудас = 1 . Окончательно
.

Таким образом, для пуассоновского потока вероятность
отсутствия событий на любом интервале длинойопределяется экспоненциальной зависимостью. Для решения полной системы уравнений используем преобразование Лапласа. Имеем,

откуда
;
и далее
;
; ...
.

Взяв обратное преобразование Лапласа, с помощью таблиц получим
, т.е. распределение Пуассона.

Таким образом, простейший поток подчиняется закону распределения Пуассона, для которого математическое ожидание и дисперсия соответственно равны
.

Распределение интервалов между событиями

Найдем закон распределения интервалов времени между событиями для простейшего потока. Рассмотрим случайную величину - промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Требуется найти функцию распределения
.

Рассмотрим противоположное событие
. Это вероятность того, что, начиная с некоторого момента появления события, за времяне появится больше ни одного события. Так как поток без последействия, то тот факт, что событие появилось в момент , не должен оказать никакого влияния на поведение потока в дальнейшем. Поэтому вероятность
, откуда
и плотность распределения вероятности
.

Такой закон распределения называется показательным (экспоненциальным) с параметром. Найдем математическое ожидание и дисперсиюэтого процесса:

;

Показательный закон обладает замечательным свойством: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время , то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка
(он будет таким же, как закон распределения промежутка).

Докажем это свойство. Пусть
- вероятность того, что обслуживание, продолжавшееся(с), еще продлится не менее(с): т.е. на интервале времениa + t не произойдет ни одного события. При показательном законе распределения времени обслуживания
.

По теореме о произведении вероятностей событий . При показательном законе;
и, следовательно,
, т.е. при показательном законе времени обслуживания закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от того, сколько времени уже длилось обслуживание. Можно доказать, что показательный закон единственный , для которого справедливо это свойство.

Рассмотренное свойство , по существу, представляет другую формулировку свойстваотсутствия последействия .

Восстанавливаемые объекты после ремонта продолжают эксплуатироваться по прямому назначению. Надежность восстанавливаемых объектов принято оценивать по характеристикам потока отказов. В общем случае потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. В теории надежности восстанавливаемых объектов в основном рассматриваются простейшие потоки событий, характеризующиеся ординарностью, стационарностью и отсутствием последействия (такие потоки событий чаще всего встречаются на практике).

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух и более отказов в единичном интервале времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного отказа. Таким образом, отказы в системе возникают по одному.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на интервал времени т зависит только от длины интервала и не зависит от того, где именно на оси расположен этот интервал. Стационарность потока событий означает, что плотность потока постоянна. Очевидно, что при наблюдении поток может иметь сгущения и разрежения. Однако для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный интервал времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.

Отсутствие последействия в простейшем потоке событий означает, что вероятность появления отказов в единичном интервале времени не зависит от возникновения отказов во всех предыдущих интервалах времени, т. е. отказы возникают независимо друг от друга. В электронно-вычислительных средствах поток отказов равен сумме потоков отказов отдельных устройств. Если каждый в отдельности поток оказывает на суммарный поток достаточно равномерное и небольшое влияние, то суммарный поток будет простейшим.

Пусть простейший поток отказов обладает следующими свойствами.

1. Время между отказами распределено по экспоненциальному закону с некоторым параметром А, (формулы (4.16)-(4.21)):

Следовательно, и Т 0 - наработка до первого отказа распределена по экспоненциальному закону с тем же параметром X (средняя наработка до первого отказа есть математическое ожидание Т :

При таких условиях интенсивность отказов X(t) оказывается постоянной величиной:

2. Пусть r(t) - число отказов за время t (r(t) является случайной величиной). Вероятность того, что за время t произойдет m отказов при интенсивности отказов X, определяется законом Пуассона (см. (4.22)):

3. Среднее число отказов за время t равно:

4. Вероятность того, что за время t не произойдет ни одного отказа, равна: P(t) = е ~ и.

Описанный простейший поток событий также называют стационарным пуассоновским потоком. Как уже было сказано выше, такой поток характерен для сложных высоконадежных объектов.

Процесс функционирования восстанавливаемого объекта можно описать как последовательность чередующихся интервалов работоспособности и простоя, связанного с восстановлением. Предполагается, что отказ объекта немедленно фиксируется и с этого же момента начинается восстановительная процедура. Интервалы работоспособности (мы предполагаем 100%-ное восстановление объекта) являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, при этом они не зависят от интервалов восстановления, которые также являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами (скорее всего, с другим распределением). Каждая из этих последовательностей интервалов формирует свой простейший поток событий.

Напомним, что в случае восстанавливаемых объектов основной характеристикой является параметр потока отказов. Эксплуатация таких объектов может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работу и работает до отказа, после отказа происходит восстановление и объект вновь работает до отказа и т. д. Параметр потока отказов определяется через ведущую функцию Q(t) данного потока, представляющую собой математическое ожидание числа отказов за время 1:

где r(t) - число отказов за время t.

Параметр потока отказов со(0 характеризует среднее число отказов, ожидаемых в малом интервале времени, и определяется по формуле (2.9):

Ведущая функция может быть выражена через параметр потока отказов:

Для стационарных пуассоновских потоков, как было сказано выше, интенсивность отказов - величина постоянная и равна X; при этом она совпадает с параметром потока отказов. Действительно, по свойству 3 стационарного пуассоновского потока среднее число отказов за время г равно: Q.(t) = M = Xt, следовательно,

Средняя наработка на отказ. Как уже говорилось, этот показатель представляет собой отношение наработки к математическому ожиданию числа отказов в течение этой наработки. Поскольку при стационарном потоке отказов M}