Смо с взаимопомощью между каналами. Классификация систем массового обслуживания

Информатика, кибернетика и программирование

На систему обслуживания имеющую n каналов обслуживания поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом. После окончания обслуживания все каналы освобождаются. Поведение такой системы массового обслуживания можно описать Марковским случайным процессом t представляющим собой число заявок находящихся в системе.

2. СМО с отказами и полной взаимопомощью для массовых потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Постановка задачи. На систему обслуживания, имеющую n каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом - µ. Заявка обслуживается всеми каналами одновременно. После окончания обслуживания все каналы освобождаются. Если вновь прибывшая заявка застает заявку, она тоже принимается к обслуживанию. Часть каналов продолжают обслуживать первую заявку, а остальные - новую. Если в системе уже обслуживается n заявок, то вновь прибывшая заявка получает отказ. Поведение такой системы массового обслуживания можно описать Марковским случайным процессом ξ(t), представляющим собой число заявок, находящихся в системе.

Возможные состояния этого процесса E = (0, 1, . . . , n). Найдем характеристики рассматриваемой СМО в стационарном режиме.

Граф, соответствующий рассматриваемому процессу, представлен на рисунке 1.

Рис. 1. СМО с отказами и полной взаимопомощью для пуассоновских потоков

Составим систему алгебраических уравнений:

Решение данной системы имеет вид:

Здесь χ =λ/nµ - среднее число заявок, поступающих в систему за среднее время обслуживания одной заявки всеми каналами.

Характеристики многоканальной системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами.

1. Вероятность отказа в обслуживании (вероятность того, что все каналы заняты):

2. Вероятность обслуживания заявки (относительная пропускная способность системы):

Если обслуживание производится поэтапно некоторой последовательностью каналов, то такую СМО называют многофазной .

В СМО со «взаимопомощью» между каналами одна и та же заявка может одновременно обслуживаться двумя и более каналами. Например, один и тот же вышедший из строя станок могут обслуживать два рабочих сразу. Такая «взаимопомощь» между каналами может иметь место как в открытых, так и в замкнутых СМО.

В СМО с ошибками заявка, принятая к обслуживанию в системе, обслуживается не с полной вероятностью, а с некоторой вероятностью ; другими словами, могут иметь место ошибки в обслуживании, результатом которых является то, что некоторые заявки, пошедшие СМО и якобы «обслуженные», в действительности остаются не обслуженными из-за «брака» в работе СМО.

Примерами таких систем могут быть: справочные бюро, иногда выдающие неправильные справки и указания; корректор, могущий пропустить ошибку или неверно ее исправить; телефонная станция, иногда соединяющая абонента не с тем номером; торгово-посреднические фирмы, не всегда качественно и в срок выполняющие свои обязательства, и т.д.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные параметры системы : число каналов , интенсивность потока заявок , производительность каждого канала (среднее число заявок, обслуживаемое в единицу времени каналом), условия образования очереди, интенсивность ухода заявок из очереди или системы.

Отношение называют коэффициентом загрузки системы . Часто рассматриваются только такие системы, в которых .

Время обслуживания в СМО может быть как случайной, так и не случайной величиной. На практике это время чаще всего принимается распределенным по показательному закону , .

Основные характеристики СМО сравнительно мало зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а зависят главным образом от среднего значения . Поэтому часто пользуются допущением, что время обслуживания распределено по показательному закону.

Допущения о пуассоновском характере потока заявок и показательном распределении времени обслуживания (которые мы будем предполагать впредь) ценны тем, что позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат так называемых марковских случайных процессов.

Эффективность систем обслуживания в зависимости от условий задач и целей исследования можно характеризовать большим числом разных количественных показателей.

Наиболее часто применяются следующие показатели :

1. Вероятность того, что обслуживанием заняты каналов – .

Частным случаем является – вероятность того, что все каналы свободны.

2. Вероятность отказа заявки в обслуживании .

3. Среднее число занятых каналов характеризует степень загрузки системы.

4. Среднее число каналов, свободных от обслуживания:

5. Коэффициент (вероятность) простоя каналов .

6. Коэффициент загрузки оборудования (вероятность занятости каналов)

7. Относительная пропускная способность – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой, т.е. отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.

8. Абсолютная пропускная способность , т.е. число заявок (требований), которое может обслужить система за единицу времени:

9. Среднее время простоя канала

Для систем с ожиданием используют дополнительно характеристики:

10. Среднее время ожидания требований в очереди .

11. Среднее время пребывания заявки в СМО .

12. Средняя длина очереди .

13. Среднее число заявок в сфере обслуживания (в СМО)

14. Вероятность того, что время пребывания заявки в очереди не продлится больше определенного времени.

15. Вероятность того, что число требований в очереди, ожидающих начала обслуживания, больше некоторого числа.

Кроме перечисленных критериев при оценке эффективности систем могут быть использованы стоимостные показатели :

– стоимость обслуживания каждого требования в системе;

– стоимость потерь, связанных с ожиданием в единицу времени;

– стоимость убытков, связанных с уходом требований из системы;

– стоимость эксплуатации канала системы в единицу времени;

– стоимость единицы простоя канала.

При выборе оптимальных параметров системы по экономическим показателям можно использовать следующую функцию стоимости потерь :

а) для систем с неограниченным ожиданием

Где – интервал времени;

б) для систем с отказами ;

в) для смешанных систем .

Варианты, в которых предусматривается строительство (ввод) новых элементов системы (например, каналов обслуживания), обычно сравниваются по приведенным затратам .

Приведенные затраты по каждому варианту есть сумма текущих затрат (себестоимости) и капитальных вложений, приведенных к одинаковой размерности в соответствии с нормативом эффективности, например:

(приведенные затраты за год);

(приведенные затраты за срок окупаемости),

где – текущие затраты (себестоимость) по каждому варианту, р.;

– отраслевой нормативный коэффициент экономической эффективности капитальных вложений (обычно = 0,15 - 0,25);

– капитальные вложения по каждому варианту, р.;

– нормативный срок окупаемости капитальных вложений, лет.

Выражение есть сумма текущих и капитальных затрат за определенный период. Их называют приведенными , так как они относятся к фиксированному отрезку времени (в данном случае к нормативному сроку окупаемости).

Показатели и могут применяться как в виде суммы капитальных вложений и себестоимости готовой продукции, так и в виде удельных капитальных вложений на единицу продукции и себестоимости единицы продукции.

Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями , часто пользуются вероятностями состояний , где – вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии .

Очевидно, что .

Если процесс, протекаемый в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, является марковским , то для вероятностей состояний можно составить систему линейных дифференциальных уравнений Колмогорова.

Eсли имеется размеченный граф состояний (рис.4.3) (здесь над каждой стрелкой, ведущей из состояния в состояние, проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния в состояние по данной стрелке), то систему дифференциальных уравнений для вероятностей можно сразу написать, пользуясь следующим простым правилом .

В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой части – столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным состоянием; если стрелка ведет в

Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, стационарны , общее число состояний конечно и состояний без выхода нет, то предельный режим существует и характеризуется предельными вероятностями .

Система уравнений

СМО с отказами для случайного числа обслуживающих потоков векторная модель для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений.

СМО представим в виде вектора , где k m – число заявок в системе, каждая из которых обслуживается m приборами; L = q max – q min +1 – число входных потоков.

Если заявка принимается на обслуживание и система переходит в состояние с интенсивностью λ m .

При завершении обслуживания одной из заявок система перейдет в состояние, в котором соответствующая координата имеет значение, на единицу меньшее, чем в состоянии , = , т.е. произойдет обратный переход.

Пример векторной модели СМО для n = 3, L = 3, q min = 1, q max = 3, P (m ) = 1/3, λ Σ = λ, интенсивность обслуживания прибора – μ.

По графу состояний с нанесенными интенсивностями переходов составляется система линейных алгебраических уравнений. Из решения этих уравнений находятся вероятности Р (), по которым определяется характеристики СМО.

СМО с бесконечной очередью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Где n – число каналов обслуживания, l – число взаимопомогающих каналов

СМО с бесконечной очередью и частичной взаимопомощью для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Система уравнений

–λ Р 0 + n μР 1 =0,

.………………

–(λ + n μ)Р k + λР k –1 + n μР k +1 =0 (k = 1,2, ... , n –1),

……………....

-(λ+ n μ)P n + λР n –1 + n μ Р n+1 =0,

……………….

-(λ+ n μ)P n+j + λР n+j –1 + n μ Р n+j+1 =0, j=(1,2,….,∞)

СМО с бесконечной очередью и полной взаимопомощью для произвольных потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Система уравнений

СМО с конечной очередью для пуассоновских потоков. Граф, система уравнений, расчетные соотношения.

Граф системы

Система уравнений

Расчетные соотношения:

,

До сих пор мы рассматривали только такие СМО, в которых каждая заявка может обслуживаться только одним каналом; незанятый каналы не могут «помогать» занятому в обслуживании.

Вообще, это не всегда бывает так: встречаются системы массового обслуживания, где одна и та же заявка может одновременно обслуживаться двумя и более каналами. Например, один и тот же вышедший из строя станок могут обслуживать два рабочих сразу. Такая «взаимопомощь» между каналами может иметь место как в открытых, так и в замкнутых СМО.

При рассмотрении СМО со взаимопомощью между каналами необходимо учитывать два фактора:

1. Насколько убыстряется обслуживание заявки, когда над ним работает не один, а сразу несколько каналов?

2. Какова «дисциплина взаимопомощи», т. е. когда и как несколько каналов берут на себя обслуживание одной и той же заявки?

Рассмотрим сначала первый вопрос. Естественно предположить, что если над обслуживанием заявки работает не один канал, а несколько каналов, интенсивность потока обслуживаний не будет убывать с увеличением k, т. е. будет представлять собой некоторую неубывающую функцию числа k работающих каналов. Обозначим эту функцию Возможный вид функции показан на рис. 5.11.

Очевидно, что неограниченное увеличение числа одновременно работающих каналов не всегда ведет к пропорциональному увеличению скорости обслуживания; естественнее предположить, что при некотором критическом значении дальнейшее увеличение числа занятых каналов уже не повышает интенсивности обслуживания.

Для того, чтобы проанализировать работу СМО со взаимопомощью между каналами, нужно, прежде всего, задать вид функции

Самым простым для исследования будет случай, когда функция возрастает пропорционально k при а при остается постоянной и равной (см. рис. 5.12). Если при этом общее число каналов , которые могут помогать друг другу, не превосходит

Остановимся теперь на втором вопросе: дисциплине взаимопомощи. Самый простой случай этой дисциплины мы обозначим условно «все как один». Это означает, что при появлении одной заявки ее начинают обслуживать все каналов сразу и остаются занятыми, пока не закончится обслуживание этой заявки; затем все каналы переключаются на обслуживание другой заявки (если она есть) или ждут ее появления, если ее нет, и т. д. Очевидно, в этом случае все каналов работают как один, СМО становится одноканальной, но с более высокой интенсивностью обслуживания.

Возникает вопрос: выгодно или невыгодно вводить такую взаимопомощь между каналами? Ответ на этот вопрос зависит от того, какова интенсивность потока заявок, каков вид функции каков тип СМО (с отказами, с очередью), какая величина выбирается в качестве характеристики эффективности обслуживания.

Пример 1. Имеется трехканальная СМО с отказами: интенсивность потока заявок (заявки в минуту), среднее время обслуживания одноц заявки одним каналом (мин), функция Спрашивается, выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО вводить взаимопомощь между каналами по типу «все как один»? Выгодно ли это с точки зрения уменьшения среднего времени пребывания заявки в системе?

Решение, а. Без взаимопомощи,

По формулам Эрланга (см. § 4) имеем:

Относительная пропускная способность СМО;

Абсолютная пропускная способность:

Среднее время пребывания заявки в СМО найдется, как вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию, умноженная на среднее время обслуживания:

Гсист (мин).

Не нужно забывать, что это среднее время относится ко всем заявкам - как обслуженным, так и необслуженным Нас же может интересовать среднее время, которое пробудет в системе обслуженная заявка. Это время равно:

6. Со взаимопомощью.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

Среднее время пребывания обслуженной заявки в СМО:

Таким образом, при наличии взаимопомощи «все как один» пропускная способность СМО заметно уменьшилась. Это объясняется увеличением вероятности отказа: за то время, пока все каналы заняты обслуживанием одной заявки, могут прийти другие заявки, и, естественно, получить отказ. Что касается среднего времени пребывания заявки в СМО, то оно, как и следовало ожидать, уменьшилось. Если, по каким-то соображениям, мы стремимся ко всемерному уменьшению времени, которое заявка проводит в СМО (например, если пребывание в СМО опасно для заявки), может оказаться, что, несмотря на уменьшение пропускной способности, все же будет выгодно объединить три канала в один.

Рассмотрим теперь влияние взаимопомощи типа «все как один» на работу СМО с ожиданием. Возьмем для простоты только случай неограниченной очереди. Естественно, влияния взаимопомощи на пропускную способность СМО в этом случае не будет, так как при любых условиях обслужены будут все пришедшие заявки. Возникает вопрос о влиянии взаимопомощи на характеристики ожидания: среднюю длину очереди, среднее время ожидания, среднее время пребывания в СМО.

В силу формул (6.13), (6.14) § 6 для обслуживания без взаимопомощи среднее число заявок в очереди будет

среднее время ожидания:

а среднее время пребывания в системе:

Если же применяется взаимопомощь типа «все как один», то система будет работать как одноканальная с параметрами

и ее характеристики определятся формулами (5.14), (5.15) § 5:

Пример 2. Имеется трехканальная СМО с неограниченной очередью; интенсивность потока заявок (заявки в мин.), среднее время обслуживания Функция Выгодно имея в виду:

Среднюю длину очереди,

Среднее время ожидания обслуживания,

Среднее время пребывания заявки в СМО

вводить взаимопомощь между каналами типа «все как один»?

Решение, а. Без взаимопомощи.

По формулам (9.1) - (9.4) имеем

(3-2)

б. Со взаимопомощью

По формулам (9.5) - (9.7) находим;

Таким образом, средняя длина очереди и среднее время ожидания в очереди в случае взаимопомощи, больше, но среднее время пребывания заявки в системе - меньше.

Из рассмотренных примеров видно, что взаимопомощь между к? налами типа «все как один», как правило, не способствует повышению эффективности обслуживания: время пребывания заявки в СМО уменьшается, но зато ухудшаются другие характеристики обслуживания.

Поэтому желательно изменить дисциплину обслуживания так, чтобы взаимопомощь между каналами не мешала принимать к обслуживанию новые заявки, если они появятся за время, пока все каналы заняты.

Назйвем условно «равномерной взаимопомощью» следующий тип взаимопомощи. Если заявка приходит в момент, когда все каналы свободны, то все каналов принимаются за ее обслуживание; если, в момент обслуживания заявки, приходит еще одна, часть каналов переключается на ее обслуживание; если, пока обслуживаются эти две заявки, приходит еще одна, часть каналов переключается на ее обслуживание и т. д., до тех пор, пока не окажутся занятыми все каналов; если это так, вновь пришедшая заявка получает отказ (в СМО с отказами) или становится в очередь (в СМО с ожиданием).

При такой дисциплине взаимопомощи заявка получает отказ или становится в очередь только тогда, когда нет возможности ее обслужить. Что касается «простоя» каналов, то он в этих условиях минимален: если в системе имеется хотя бы одна заявка, все каналы работают.

Выше мы упомянули, что при появлении новой заявки часть занятых каналов освобождается и переключается на обслуживание вновь прибывшей заявки. Какая часть? Это зависит от вида функции Если она имеет вид линейной зависимости, как показано на рис. 5.12, и то все равно, какую часть каналов выделить на обслуживание вновь поступившей заявки, лишь бы все каналы были заняты (тогда суммарная интенсивность обслуживаний при любом распределении каналов по заявкам будет равна ). Можно доказать, что если кривая выпукла кверху, как показано на рис. 5.11, то нужно распределять каналы по заявкам как можно более равномерно.

Рассмотрим работу -канальной СМО при «равномерной» взаимопомощи между каналами.